PARÁBOLA

¿Que es la parábola?

Demostración ecuación parábola

La ecuacion de la parabola con vértice en (0,0) foco en (a,0) y cuya directriz es la recta x=-a, a>0, es

TABLA 1.

TABLA 2.

Ejemplo:

Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en (0,0) y foco en (2,0).Grafique la ecuación.

La distancia del vertice (0,0) al foco (2,0), es a=2. La ecuacion de la parabola es 

Para graficar esta parábola es conveniente marcar los dos puntos de la gráfica situados arriba y abajo del foco, para ellos hacemos que x=2.

Los puntos sobre la parabola arriba y abajo del foco son (2,-4) y (2,4).

Relación propiedad de reflexión con una antena parabólica.

En un espejo que tiene la forma de un paraboloide de revolución, que es la superficie que forma al girar una parábola sobre su eje de simetría. cualquier fuente de luz se coloca en el foco de la parábola, todos los rayos que emanen de ella se reflejaran en el espejo siguiendo las lineas paralelas al eje de simetría, cuando la fuente lejana emanan rayos de luz prácticamente paralelas cuando estos rayos tocan la superficie de un espejo parabólico, cuyo eje de simetría es paralelo a ellos, se reflejaran hacia un solo foco. Este principio

se usa para algunos sistemas solares, o antenas parabólicas.

EJERCICIOS

1.Encuentre la ecuacion de la parabola con foco en (0,5) y directriz en la linea y=-3. Grafique la ecuación.

2.Encuentre la ecuacion de la parabola con foco en (0,14) y directriz en la linea y=3. Grafique la ecuación.

3.Encuentre la ecuacion de la parabola con foco en (0,2,3) y directriz en la linea y=2/4. Grafique la ecuación.

HIPÉRBOLA

¿Que es la hipérbola?

Demostración de la ecuación de la Hipérbola.

Ejemplo 

Encuentre una ecuación de la hipérbola con centro en el origen , un foco en (4,0) y un vértice en (-3,0).

La hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transversal coincide con el eje x. un foco esta en (c,0)=(4,0) por lo que c =4. un vértice esta a (-a,0)=(-3,0) por lo que a =3.se infiere =16-9=7 la ecuación de la hipérbola queda así

Asíntotas de una hipérbola

Una asintona horizontal u oblicua de una grafica es una linea de la propiedad de la distancia de la linea a los puntos sobre la grafica tiende a 0 x -> -o cuando x -> , la hipérbola 

 tiene las dos asíntotas oblicuas.

TABLA 3. 

TEOREMA DE PONCELET

En todo triangulo rectángulo, la suma de la longitud de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas doble del in radio

TEOREMA DE PILOT 

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que la suma de longitudes de los lados debe ser iguales

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. medida del angulo central- es igual a la medida del arco que se opone

2.Medida del angulo interior- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos.

3.Medida del angulo inscrito- Es la mitad de la medida del arco opuesto

4.Medida del angulo Semi-Inscrito -Es igual a la medida del arco opuesto 

5.Medida del angulo Ex-inscrito- Es igual a la mitad de la medida del arco abc.

ÁNGULOS EXTERIORES - SON TRES CASOS

A. Medida del angulo formado por dos rectas tangentes - es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos opuestos.

B. Angulo formado por dos rectas secantes- Es igual a la semi-diferencia de la medida de los arcos opuestos

C.Medida del angulo formado por una recta tangente y otra secante- Es igual a la semi-diferencia de las medidas a los arcos opuestos